Forum
Matematika përbën një fushë të njohurive abstrakte të ndërtuara me ndihmen e arsyetimeve logjike mbi koncepte të tilla si numrat , figurat, strukturat dhe transformimet. Matematika quhet gjithashtu edhe disiplina që mëson mbi të si dhe fusha e kërkimit që synon zhvillimin e metejshëm të saj. Matematika dallohet me shkencat tjera nga një lidhje të veçantë që ka ajo me realen. Ajo është e një natyre të paster intelektuale, e bazuar tek një seri aksiomash të deklaruara të vërteta (do të thotë që aksiomat nuk i janë nënshtruar asnjë eksperience por janë frymëzuara prej këtyre të fundit sidomos në lashtësi) ose mbi disa postulate përkohësisht të pranuara. Një pohim matematikor – i quajtur përgjithësisht teoremë ose propozicion konsiderohet i vërtetë nëse procesi i vërtetimit formal që përcakton vlefshmërin e saj respekton një strukturë arsyetuese logjike-deduktive. Edhe pse rezultatet matematike janë të vërteta plotësisht formale, ato gjejnë zbatueshmëri në shkencat tjera dhe në fushen e teknikes. Është për këtë arsye që Eugène Wigner flet për « efikasitet të paarsyeshëm të matematikes në shkencat e natyres ». Matematika merret me studimin e raporteve sasiore dhe cilësore të objekteve konkrete dhe abstrakte, si dhe me studimin e formave hapësinore. Sipas Burbakistëve (Nicolas Bourbaki) ajo është shkencë që studion relacionet dhe në thelbin e saj është kuptimi i numrit. Matematika është shkencë deduktive d.m.th përfundimet e saj janë të përgjithshme dhe janë rrjedhim logjik i aksiomave. Fillimet e matematikës humben në thellësitë e shekujve. Matematika u shfaq si rezultat i vështrimeve dhe përvojës së njerëzve në përballje me problemet dhe nevojat praktike. Sistematizimi dhe përmbledhja e njohurive matematikore ka filluar relativisht vonë. Kinezët e lashtë, civilizimi i Inkëve, pastaj në Indi kishte një zhvillim të konsiderueshëm të matematikës.
Në Greqinë antike matematika përjetoi një zhvillim të paparë nga një plejadë e tërë matematikanësh siç janë: Pitagora, Talesi, Platoni, Eudoksi, Euklidi, Arkimedi etj. Grekët e vjetër matematikën e kuptonin në sensin e gjeometrisë dhe të parët ishin ata që të vërtetat matematikore të cilat ato i quanin teorema i vërtetonin. Njohuritë matematikore të grekëve të vjetër më vonë i përvetësuan dhe i pasuruan arabët të cilët quhen edhe themelues të algjebrës. Përkthimet arabe të veprave të matematikanëve grekë në mesjetë depërtuan në Evropë.
Pastaj shtytjen dhe zhvillimin e matematikës e morën në dorë Evropianët. Në këtë periudhë mund të përmendim Vietin, Cardanon, Fibonaccin etj. Më vonë dolën në skenë Rene Descartes, Pascali, Leibnitzi, Bernoulli, Gaussi, Euleri etj. Në fund të shekullit XIX David Hilberti një matematikan i shkëlqyer gjerman në kongresin ndërkombëtar të matematikanëve të mbajtur në Paris në vitin 1900 propozoi dhe i formuloi njëzetetre (23) probleme matematikore të cilat shekulli XIX ia le në trashëgimi shekullit XX. Shumë prej këtyre problemeve i preokupuan matematikanët nga gjithë bota një kohë të gjatë dhe shumica e tyre u zgjidhën pas një pune të palodhshme ku participuan një numër i madh matematikanësh nga gjithë bota.
Matematika në ditët e sotme përjeton një zhvillim marramendës dhe është e shpërndarë në shumë degë të specializuara të cilat janë mjaft abstrakte. Sot është e pamundur të gjendët një autoritet si Hilberti i cili të ketë një pasqyrë të përgjithshme për të gjithë degët e matematikës. Poashtu nuk u gjet një matematikan i cili në fund të shekullit XX të propozonte probleme për shekullin XXI. Kjo është e kuptueshme sepse matematika si edhe të gjitha shkencat tjera kanë përjetuar një zhvillim të paparë. Por një analogji e përafërt me Hilbertin Clay Mathematical Institute, në fund të Stampa:Shek-, ofron një çmim prej 1 million Dollar atij i cili jep një zgjidhje të pranueshme njërit prej 7 problèmeve të shekullit XX. Deri më sot zyrtarisht nuk është ndarë asnjë çmim. Problemi i vetëm i zgjidhur është hipoteza Poincaré të cilën e zgjodhi Grigori Perelman por ky i fundit e refuzoi atë.Gjashtë problemet tjera janë të hapura.[citim i duhur]
Matematika në interaksion me shkencat tjera e ndihmon zhvillimin e tyre por në të njëjtën kohë ajo edhe vetë pasurohet. Sot matematika ka depërtuar edhe në ato degë të shkencës në të cilat deri para pak kohe as që ishte e imagjinueshme. Matematika në përgjithësi e mban karakterin e njerëzve të cilët e zhvillojnë atë. Është i gabueshëm mendimi i njerëzve për të cilët matematika është e pakuptueshme se në matematikë nuk ka konteste dhe ç'do gjë është e qartë. Ndërmjet matematikanëve ka pikëpamje të ndryshme për matematikën. Fatmirësisht kjo nuk do të thotë se matematika nuk ka perspektiva të ndritshme.
Simbolet dhe gjuha matematikore
simboli për infinitin të pakufishmen ∞
Shumica e simboleve që përdoren sot në matematikë nuk ishin zbuluar deri në shekullin XVI. Mathematika shkruhej me fjalë dhe kjo e kufizonte zhvillimin e saj. Në shek XVIII, Euleri futi në matematikë një numër të madh simbolesh të cilat përdoren edhe sot. Simbolizmi matematikor sot është shum i rëndësishëm për profesionistët por fillestarët nuk mund ta kuptojnë. Ai është shumë i ngjeshur sepse vetëm pak simbole shprehin një sasi të madhe informacioni. Simbolizmi modern ka një sintaksë të përcaktuar rreptësisht e cila përshkruan infomacione në lidhje me një teori të caktuar matematikore .Gjuha e matematikës është shumë e vështirë për jomatematikanët.
Konceptet matematikore
Konceptet dhe strukturat themelore matematikore, jo vetëm si njësi të posaçme, por edhe në ndërlidhje me koncepte dhe struktura tjera matematikore. Asnjëri prej koncepteve matematikore që shtjellohet nuk na »paraqitet« vet për vete. Kështu, koncepti i shumëzimit është i lidhur me konceptin e mbledhjes, kurse koncepti i pjesëtimit me zbritje.
Konceptet dhe strukturat le të shqyrtohen edhe në kontekst të njohurive dhe ambienteve tjera matematikore dhe jashtëmatematikore si dhe në situata të ndryshme mësimore.
Degët e matematikës
Disa nga degët e matematikës janë:
* Algjebra
* Aritmetika
* Analiza komplekse
* Analiza Matematike
* Gjeometria
* Kombinatorika
* Logjika Matematikore
* Matematika diskrete
* Teoria e bashkësive
* Teoria e gjasës
* Teoria e numrave
* Topologjia
* Teoria e grupeve
* Teoria e numrave
Algjebra studion strukturat algjebrike (Grupet, Unazat, Trupat, Hapsirat vektoriale, etj.)[1]. Me ndihmën e saj bëhet zgjidhja e Ekuacioneve dhe sistemeve të Ekuacioneve. Në algjebren lineare shqyrtohen Matricat dhe Detirminantet. Në teorinë e Galois-it, bëhet shqyrtimi i problemeve gjeometrike në mënyrë algjebrike.
Aritmetika (gr. αριθμός, arithmos = numër) është dega më e vjetër dhe më e thjeshtë e matematikës dhe përdoret gjerësisht në jetën e përditshme për qëllime nga më të thjeshtat, numërimin, gjer në më të përparuarat, si njehsimet në studimet kërkuese dhe në tregti. Emërtimi lidhet me atë degë të matematikës që studion vetitë themelore të disa veprimeve me numrat, veçanërisht me numrat e plotë. Matematikanët nganjëherë e përdorin emërtimin aritmetikë për të treguar teorinë e numrave, e cila nuk duhet ngatërruar me aritmetikën elementare.
Aritmetika në arsimimin shkollor është lëndë mësimore mbi numrat dhe lidhjet e tyre ndërmjet veti. Para së gjithash, aritmetika merret me veprimet themelore llogaritëse si dhe fuqizimin dhe llogaritjen e fuqisë së numrave.
Analiza Komplekse, tradicionalisht e njohur si teoria e funksioneve të varaiblave komplekse, është një degë e matematikës që studjon funksionet e numrave komplekse. Eshtë shumë e vlefshme ne shumë degë të matematikës, përfshire teorinë e numrave dhe matematikën e applikuar, si dhe në fizike.
Analiza Komplekse merret në menyre të vecante me funksionet analitike të variablave komplekse, të cilat ndahen në dy klasa kryesore : Funksionet holomorfike dhe funksionet meromorfike. Për shkak të ndarjes së pjeses reale dhe imagjinare qenje funksion analitik duhet të përfaqesoje ekuacionet e Laplasit, analiza komplekse pedoret në menyre të gjerë në probleme dy-dimensionale në fizike.
Analiza matematike e ka bazen tek formulimi rigoroz i llogaritjes infinitezimale. Analiza është dega e matematikës që merret shprehimisht me nocione të tilla si limiti, qoftë limiti i një vargu numerik apo i një funksioni. Ajo përfshin gjithashtu nocione të tjera si vazhdueshmëria, derivimi dhe integrali. Këto nocione janë të studiuara në kontekstin e numrave rreal ose kompleks. Megjithatë , këto nocione mund të jenë te përcaktuara dhe të studiuara në një kontekst më të përgjithshëm në hapësirat topologjike.
Gjeometria është degë e matematikës që i studjon figurat e rrafshit dhe hapësirës dhe relacionet në mes tyre. Fjala gjeometri vjen nga greqishtja dhe ka kuptimin "matje e tokës" këtë fjalë e krijoi Herodoti.
Kombinatorika:Kombinatorika merret me studimin e bashkësive të fundme, me grupimin e elementeve të tyre sipas ndonjë kriteri të caktuar, me renditjen e elementeve etj. Kuptimet themelore të kombinatorikës janë permutacioni, kombinacioni, variacioni, multibashkësia etj. . Ajo është e lidhur ngushtë me degë tjera rë matematikës si Algjebra, Teoria e gjasës, dhe Gjeometria, dhe ka zbatime të shumta në Shkencat kompujterike në Statistikë etj. Aspekte të kombinatorikës konsistojnë në llogaritjen e numrit të objekteve të cilat plotësojnë ndonjë kriter të caktuar që përbën objektin e studimit të Kombinatorikës numerike, Gjetjen e elementit ose objektit më të madh ose më të vogël ose zgjedhjen optimal që probleme këto që i studjon Kombinatorika ekstrmale, poashtu zhvillimi dhe gjetja e strukturave të cilat i plotësojnë objektet kombinatorike, i studjon Kombinatorika algjebrike.
Kombinatorika më shumë merret me zgjidhjen e problemeve se me ndërtimin e një teorie, por kjo nuk do të thotë se gjatë kësaj nuk është ndërtuar një teori e fuqishme e kombinatorikës sidomos në fund të shekullit XX . Njëra nga pjesët e kombinatorikës është edhe Teoria e grafeve.
Matematikani i cili është i specializuar në kombinatorikë quhet kombinatorist.
Themelues i Logjikës matematikore konsiderohet matematikani anglez George Boole kuptimet e para të logjikës formale i kanë dhënë grekët e vjetër me përfaqësuesin kryesor të saj Aristotelin. Logjika matematikore lindi nga nevoja e eliminimit të kundërthënieve dhe paradokseve që u paraqitën në teorinë e bashkësive poashtu ajo ka luajtur një rol të veçantë në lindjen e disa lëmive të reja të matematikës bashkohore. Kjo degë përsosi simbolet e deriatëhershme dhe e plotësoi me simbole të reja gjuhën simbolike.
Matematika diskrete është term i përgjithshëm i cili përmban në vete degë të ndryshme të matematikës të cilët operojnë me bashkësi të fundme ose të numërueshme. Në matematikën diskrete bëjnë pjesë degët e matematikës.
Termi bashkësi është një nga kuptimet themelore në matematikë. Intuitivisht thuhet se ai paraqet një garniturë (koleksion) elementesh. Te bashkësitë nuk është e rëndësishme renditja e elementeve, Teoria e bashkësive nuk interesohet me natyrën e tyre, por i studion ato nga aspekti "abstrakt".
Në fillim të zhvillimit të Teorisë së bashkësive u punohej më shpesh me bashkësi te kufizuara dhe vetëm tek ato bashkësi mund të krahasohenin numrat kardinalë (numrat e elementeve) të tyre. Me veprimtarinë e tij të suksesshme, Kantori, zbuloi se jo të gjithë bashkësite e pafundme kanë numër kardinal të njëjtë.
Teoria e gjasës është degë e matematikës e cila studjon fenomenet e rastësishme [1]. Koncepte themelore të teorisë së gjasës janë ndryshorja e rastësishme, proceset stohastike dhe ngjarjet e rastësishme: Për shembull hedhja e një kubi për lojë të numëruar me pika në secilën nga gjashtë faqet e tij është një ngjarje e rastësisshme. Nëse hedhja e kubit përsëritet një numër të madh herësh do të shohim se këto ngjarje do të plotësojnë një rregullshmëri të caktuar statistikore të cilat mund të studjohen dhe të parashikohen. Teorema të rëndësishme në teorinë e gjasës janë ,, Ligji i numrave të mëdhenj,, dhe ,, Teorema qendrore kufitare,,.
Teoria e gjasës është bazë matematikore e statistikës, ajo ka zbatim të madh në analizën kuantitative të baskësive të cilat përmbajnë një numër të madh të dhënash, metodat e saj kanë mundësuar zbulimin e fenomeneve fizike në nivelin e atomit që i përshkruan mekanika kuantike
Teoria e numrave është degë e matematikës së pastër e cila merret me studimin e vetive të numrave në përgjithësi, e posaçërisht atyre të plotë, si dhe me një klasë më të gjerë problemesh të cilat dalin nga studimet e tilla.
Ndër problemet elementare që studiohen janë plotpjestueshmëria e numrave, kriteret për gjetjen e numrave të cilat plotësojnë ndonjë kusht të caktuar, shpërndarja e numrave të thjeshtë, gjetja e numrit të particioneve të një numri natyral.
Disa autorë teorinë e numrave e identifikojnë me aritmetikën, për dallim nga algjebra e cila merret më shumë me numra simbolik. Kontribuuesit më të mëdhenj në teorinë e numrave janë: Gauss, Legendre, Hardy, Ramanujan, Litlewood, Rogers, Rieman etj
Тоpologjia është degë e matematikës që studjon strukturën lokale dhe të përgjithshme të hapësirave me transformime të vazhdueshme. Të gjitha këto hapësira quhen hapësira topologjike por më e rëndësishmja është hapësira reale euklidiane me n dimensione. Topologjia bën lidhjen në mes të teorisë së bashkësive, paqyrimeve, analizës funksionale etj. Shembull i transformimit të vazhdueshëm nga filxhani i kafesë në gjevrek dhe anasjelltas. Në aspektin topologjik gjevreku dhe filxhani i kafesë janë figura homotopike pra topologjikisht të barabarta.
Rezultatet e fituara në topologji janë shumë të përgjithshme p.sh. në topologji prodhimi topologjik i dy rrathëve paraqet një torus ose një figurë në formë të gjevrekut.
Teoria e grupeve, lindi në shekullin e XIX si disiplinë matematike, është paraprijëse e matematikes moderne, sepse ndanë përfaqësuesin (p.sh. numrat reale) nga struktura e brendshme (ligjet e llogaritjes në grupe).
Teoria e numrave është degë e matematikës së pastër e cila merret me studimin e vetive të numrave në përgjithësi, e posaçërisht atyre të plotë, si dhe me një klasë më të gjerë problemesh të cilat dalin nga studimet e tilla.
Në Greqinë antike matematika përjetoi një zhvillim të paparë nga një plejadë e tërë matematikanësh siç janë: Pitagora, Talesi, Platoni, Eudoksi, Euklidi, Arkimedi etj. Grekët e vjetër matematikën e kuptonin në sensin e gjeometrisë dhe të parët ishin ata që të vërtetat matematikore të cilat ato i quanin teorema i vërtetonin. Njohuritë matematikore të grekëve të vjetër më vonë i përvetësuan dhe i pasuruan arabët të cilët quhen edhe themelues të algjebrës. Përkthimet arabe të veprave të matematikanëve grekë në mesjetë depërtuan në Evropë.
Pastaj shtytjen dhe zhvillimin e matematikës e morën në dorë Evropianët. Në këtë periudhë mund të përmendim Vietin, Cardanon, Fibonaccin etj. Më vonë dolën në skenë Rene Descartes, Pascali, Leibnitzi, Bernoulli, Gaussi, Euleri etj. Në fund të shekullit XIX David Hilberti një matematikan i shkëlqyer gjerman në kongresin ndërkombëtar të matematikanëve të mbajtur në Paris në vitin 1900 propozoi dhe i formuloi njëzetetre (23) probleme matematikore të cilat shekulli XIX ia le në trashëgimi shekullit XX. Shumë prej këtyre problemeve i preokupuan matematikanët nga gjithë bota një kohë të gjatë dhe shumica e tyre u zgjidhën pas një pune të palodhshme ku participuan një numër i madh matematikanësh nga gjithë bota.
Matematika në ditët e sotme përjeton një zhvillim marramendës dhe është e shpërndarë në shumë degë të specializuara të cilat janë mjaft abstrakte. Sot është e pamundur të gjendët një autoritet si Hilberti i cili të ketë një pasqyrë të përgjithshme për të gjithë degët e matematikës. Poashtu nuk u gjet një matematikan i cili në fund të shekullit XX të propozonte probleme për shekullin XXI. Kjo është e kuptueshme sepse matematika si edhe të gjitha shkencat tjera kanë përjetuar një zhvillim të paparë. Por një analogji e përafërt me Hilbertin Clay Mathematical Institute, në fund të Stampa:Shek-, ofron një çmim prej 1 million Dollar atij i cili jep një zgjidhje të pranueshme njërit prej 7 problèmeve të shekullit XX. Deri më sot zyrtarisht nuk është ndarë asnjë çmim. Problemi i vetëm i zgjidhur është hipoteza Poincaré të cilën e zgjodhi Grigori Perelman por ky i fundit e refuzoi atë.Gjashtë problemet tjera janë të hapura.[citim i duhur]
Matematika në interaksion me shkencat tjera e ndihmon zhvillimin e tyre por në të njëjtën kohë ajo edhe vetë pasurohet. Sot matematika ka depërtuar edhe në ato degë të shkencës në të cilat deri para pak kohe as që ishte e imagjinueshme. Matematika në përgjithësi e mban karakterin e njerëzve të cilët e zhvillojnë atë. Është i gabueshëm mendimi i njerëzve për të cilët matematika është e pakuptueshme se në matematikë nuk ka konteste dhe ç'do gjë është e qartë. Ndërmjet matematikanëve ka pikëpamje të ndryshme për matematikën. Fatmirësisht kjo nuk do të thotë se matematika nuk ka perspektiva të ndritshme.
Simbolet dhe gjuha matematikore
simboli për infinitin të pakufishmen ∞
Shumica e simboleve që përdoren sot në matematikë nuk ishin zbuluar deri në shekullin XVI. Mathematika shkruhej me fjalë dhe kjo e kufizonte zhvillimin e saj. Në shek XVIII, Euleri futi në matematikë një numër të madh simbolesh të cilat përdoren edhe sot. Simbolizmi matematikor sot është shum i rëndësishëm për profesionistët por fillestarët nuk mund ta kuptojnë. Ai është shumë i ngjeshur sepse vetëm pak simbole shprehin një sasi të madhe informacioni. Simbolizmi modern ka një sintaksë të përcaktuar rreptësisht e cila përshkruan infomacione në lidhje me një teori të caktuar matematikore .Gjuha e matematikës është shumë e vështirë për jomatematikanët.
Konceptet matematikore
Konceptet dhe strukturat themelore matematikore, jo vetëm si njësi të posaçme, por edhe në ndërlidhje me koncepte dhe struktura tjera matematikore. Asnjëri prej koncepteve matematikore që shtjellohet nuk na »paraqitet« vet për vete. Kështu, koncepti i shumëzimit është i lidhur me konceptin e mbledhjes, kurse koncepti i pjesëtimit me zbritje.
Konceptet dhe strukturat le të shqyrtohen edhe në kontekst të njohurive dhe ambienteve tjera matematikore dhe jashtëmatematikore si dhe në situata të ndryshme mësimore.
Degët e matematikës
Disa nga degët e matematikës janë:
* Algjebra
* Aritmetika
* Analiza komplekse
* Analiza Matematike
* Gjeometria
* Kombinatorika
* Logjika Matematikore
* Matematika diskrete
* Teoria e bashkësive
* Teoria e gjasës
* Teoria e numrave
* Topologjia
* Teoria e grupeve
* Teoria e numrave
Algjebra studion strukturat algjebrike (Grupet, Unazat, Trupat, Hapsirat vektoriale, etj.)[1]. Me ndihmën e saj bëhet zgjidhja e Ekuacioneve dhe sistemeve të Ekuacioneve. Në algjebren lineare shqyrtohen Matricat dhe Detirminantet. Në teorinë e Galois-it, bëhet shqyrtimi i problemeve gjeometrike në mënyrë algjebrike.
Aritmetika (gr. αριθμός, arithmos = numër) është dega më e vjetër dhe më e thjeshtë e matematikës dhe përdoret gjerësisht në jetën e përditshme për qëllime nga më të thjeshtat, numërimin, gjer në më të përparuarat, si njehsimet në studimet kërkuese dhe në tregti. Emërtimi lidhet me atë degë të matematikës që studion vetitë themelore të disa veprimeve me numrat, veçanërisht me numrat e plotë. Matematikanët nganjëherë e përdorin emërtimin aritmetikë për të treguar teorinë e numrave, e cila nuk duhet ngatërruar me aritmetikën elementare.
Aritmetika në arsimimin shkollor është lëndë mësimore mbi numrat dhe lidhjet e tyre ndërmjet veti. Para së gjithash, aritmetika merret me veprimet themelore llogaritëse si dhe fuqizimin dhe llogaritjen e fuqisë së numrave.
Analiza Komplekse, tradicionalisht e njohur si teoria e funksioneve të varaiblave komplekse, është një degë e matematikës që studjon funksionet e numrave komplekse. Eshtë shumë e vlefshme ne shumë degë të matematikës, përfshire teorinë e numrave dhe matematikën e applikuar, si dhe në fizike.
Analiza Komplekse merret në menyre të vecante me funksionet analitike të variablave komplekse, të cilat ndahen në dy klasa kryesore : Funksionet holomorfike dhe funksionet meromorfike. Për shkak të ndarjes së pjeses reale dhe imagjinare qenje funksion analitik duhet të përfaqesoje ekuacionet e Laplasit, analiza komplekse pedoret në menyre të gjerë në probleme dy-dimensionale në fizike.
Analiza matematike e ka bazen tek formulimi rigoroz i llogaritjes infinitezimale. Analiza është dega e matematikës që merret shprehimisht me nocione të tilla si limiti, qoftë limiti i një vargu numerik apo i një funksioni. Ajo përfshin gjithashtu nocione të tjera si vazhdueshmëria, derivimi dhe integrali. Këto nocione janë të studiuara në kontekstin e numrave rreal ose kompleks. Megjithatë , këto nocione mund të jenë te përcaktuara dhe të studiuara në një kontekst më të përgjithshëm në hapësirat topologjike.
Gjeometria është degë e matematikës që i studjon figurat e rrafshit dhe hapësirës dhe relacionet në mes tyre. Fjala gjeometri vjen nga greqishtja dhe ka kuptimin "matje e tokës" këtë fjalë e krijoi Herodoti.
Kombinatorika:Kombinatorika merret me studimin e bashkësive të fundme, me grupimin e elementeve të tyre sipas ndonjë kriteri të caktuar, me renditjen e elementeve etj. Kuptimet themelore të kombinatorikës janë permutacioni, kombinacioni, variacioni, multibashkësia etj. . Ajo është e lidhur ngushtë me degë tjera rë matematikës si Algjebra, Teoria e gjasës, dhe Gjeometria, dhe ka zbatime të shumta në Shkencat kompujterike në Statistikë etj. Aspekte të kombinatorikës konsistojnë në llogaritjen e numrit të objekteve të cilat plotësojnë ndonjë kriter të caktuar që përbën objektin e studimit të Kombinatorikës numerike, Gjetjen e elementit ose objektit më të madh ose më të vogël ose zgjedhjen optimal që probleme këto që i studjon Kombinatorika ekstrmale, poashtu zhvillimi dhe gjetja e strukturave të cilat i plotësojnë objektet kombinatorike, i studjon Kombinatorika algjebrike.
Kombinatorika më shumë merret me zgjidhjen e problemeve se me ndërtimin e një teorie, por kjo nuk do të thotë se gjatë kësaj nuk është ndërtuar një teori e fuqishme e kombinatorikës sidomos në fund të shekullit XX . Njëra nga pjesët e kombinatorikës është edhe Teoria e grafeve.
Matematikani i cili është i specializuar në kombinatorikë quhet kombinatorist.
Themelues i Logjikës matematikore konsiderohet matematikani anglez George Boole kuptimet e para të logjikës formale i kanë dhënë grekët e vjetër me përfaqësuesin kryesor të saj Aristotelin. Logjika matematikore lindi nga nevoja e eliminimit të kundërthënieve dhe paradokseve që u paraqitën në teorinë e bashkësive poashtu ajo ka luajtur një rol të veçantë në lindjen e disa lëmive të reja të matematikës bashkohore. Kjo degë përsosi simbolet e deriatëhershme dhe e plotësoi me simbole të reja gjuhën simbolike.
Matematika diskrete është term i përgjithshëm i cili përmban në vete degë të ndryshme të matematikës të cilët operojnë me bashkësi të fundme ose të numërueshme. Në matematikën diskrete bëjnë pjesë degët e matematikës.
Termi bashkësi është një nga kuptimet themelore në matematikë. Intuitivisht thuhet se ai paraqet një garniturë (koleksion) elementesh. Te bashkësitë nuk është e rëndësishme renditja e elementeve, Teoria e bashkësive nuk interesohet me natyrën e tyre, por i studion ato nga aspekti "abstrakt".
Në fillim të zhvillimit të Teorisë së bashkësive u punohej më shpesh me bashkësi te kufizuara dhe vetëm tek ato bashkësi mund të krahasohenin numrat kardinalë (numrat e elementeve) të tyre. Me veprimtarinë e tij të suksesshme, Kantori, zbuloi se jo të gjithë bashkësite e pafundme kanë numër kardinal të njëjtë.
Teoria e gjasës është degë e matematikës e cila studjon fenomenet e rastësishme [1]. Koncepte themelore të teorisë së gjasës janë ndryshorja e rastësishme, proceset stohastike dhe ngjarjet e rastësishme: Për shembull hedhja e një kubi për lojë të numëruar me pika në secilën nga gjashtë faqet e tij është një ngjarje e rastësisshme. Nëse hedhja e kubit përsëritet një numër të madh herësh do të shohim se këto ngjarje do të plotësojnë një rregullshmëri të caktuar statistikore të cilat mund të studjohen dhe të parashikohen. Teorema të rëndësishme në teorinë e gjasës janë ,, Ligji i numrave të mëdhenj,, dhe ,, Teorema qendrore kufitare,,.
Teoria e gjasës është bazë matematikore e statistikës, ajo ka zbatim të madh në analizën kuantitative të baskësive të cilat përmbajnë një numër të madh të dhënash, metodat e saj kanë mundësuar zbulimin e fenomeneve fizike në nivelin e atomit që i përshkruan mekanika kuantike
Teoria e numrave është degë e matematikës së pastër e cila merret me studimin e vetive të numrave në përgjithësi, e posaçërisht atyre të plotë, si dhe me një klasë më të gjerë problemesh të cilat dalin nga studimet e tilla.
Ndër problemet elementare që studiohen janë plotpjestueshmëria e numrave, kriteret për gjetjen e numrave të cilat plotësojnë ndonjë kusht të caktuar, shpërndarja e numrave të thjeshtë, gjetja e numrit të particioneve të një numri natyral.
Disa autorë teorinë e numrave e identifikojnë me aritmetikën, për dallim nga algjebra e cila merret më shumë me numra simbolik. Kontribuuesit më të mëdhenj në teorinë e numrave janë: Gauss, Legendre, Hardy, Ramanujan, Litlewood, Rogers, Rieman etj
Тоpologjia është degë e matematikës që studjon strukturën lokale dhe të përgjithshme të hapësirave me transformime të vazhdueshme. Të gjitha këto hapësira quhen hapësira topologjike por më e rëndësishmja është hapësira reale euklidiane me n dimensione. Topologjia bën lidhjen në mes të teorisë së bashkësive, paqyrimeve, analizës funksionale etj. Shembull i transformimit të vazhdueshëm nga filxhani i kafesë në gjevrek dhe anasjelltas. Në aspektin topologjik gjevreku dhe filxhani i kafesë janë figura homotopike pra topologjikisht të barabarta.
Rezultatet e fituara në topologji janë shumë të përgjithshme p.sh. në topologji prodhimi topologjik i dy rrathëve paraqet një torus ose një figurë në formë të gjevrekut.
Teoria e grupeve, lindi në shekullin e XIX si disiplinë matematike, është paraprijëse e matematikes moderne, sepse ndanë përfaqësuesin (p.sh. numrat reale) nga struktura e brendshme (ligjet e llogaritjes në grupe).
Teoria e numrave është degë e matematikës së pastër e cila merret me studimin e vetive të numrave në përgjithësi, e posaçërisht atyre të plotë, si dhe me një klasë më të gjerë problemesh të cilat dalin nga studimet e tilla.
